% !TEX TS-program = latexmk % !TEX encoding =latin 1 \documentclass{scrreprt} % Mathepakete von mir eingefügt \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm,multicol,longtable,tabularx,fancybox,fancyhdr,lscape} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[latin 1]{inputenc} \usepackage[]{fontenc} \usepackage{lmodern} \usepackage[ngerman]{babel} % Um mit Latex zeichnen zu können \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{positioning,shapes.geometric} \tikzset{decision/.style={draw,diamond,text width=3cm,align=center}} % um über mehrere Zeilen Kommentare schreiben zu können: \usepackage{verbatim} \usetikzlibrary{shapes,arrows} \pagestyle{headings} %Nummerierung geht bis Tiefe 6 \setcounter{secnumdepth}{6} %Nummerierung subsubsection \setcounter{tocdepth}{6} % subsubsection ins Inhaltsverzeichnis % Ränder setzen \usepackage[left=2cm,right=1cm,top=0cm,bottom=0cm,includeheadfoot]{geometry} % hyperref sollte als letztes aller Paktete geladen werden \usepackage{hyperref} %Einrücken generell verhindern \setlength{\parindent}{0em} %Soll nur bei einen bestimmten Absatz das Einrücken verhindert werden: % \noindent \title{$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ und $\mathbb{R} \subset \mathbb{C} $} \date{ \today} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \chapter{Vorbemerkungen} In vielen Büchern wird versucht die Teilmengenbeziehung $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ und $\mathbb{R} \subset \mathbb{C} $ mit Hilfe der sogenannten Identifikation zu begründen.\\ Hier wird der Versuch gemacht, das formal korrekter zu machen. \section{Die Grundidee} Es sei $\{\dq null \dq, \dq eins \dq, \dq zwei \dq, \dq drei \dq \dq vier \dq, 5, 6, 7, 8, , ....\}$ eine (ungewohnte) Kodierung der Menge der natürlichen Zahlen.\\ Angenommen man will die Menge $\{0,1,2,3,4\}$ in die Menge $\{\dq null \dq, \dq eins \dq, \dq zwei \dq, \dq drei \dq, \dq vier \dq, 5, 6, 7, 8, , ....\}$ einbetten, d.h. zur Teilmenge machen, dann geht das nicht so einfach, weil keine Teilmengenbeziehung vorliegt.\\ Man kann aber diese (ungewohnt) kodierte Menge der natürlichen Zahlen entsprechend umkodieren \\ d.h. dort die Menge $\{\dq null \dq, \dq eins \dq, \dq zwei \dq, \dq drei \dq, \dq vier \dq \}$ durch $\{0,1,2,3,4\}$ ersetzen \\ und bekommt dann die (bekannte Notation der) Menge der natürlichen Zahlen $\{0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....\}$. \\ Dann hat man Menge $\{0,1,2,3,4\}$ in die (bekannte Notation der) Menge der \\ natürlichen Zahlen $\{0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....\}$ eingebettet. \section{Satz-1} Sei M eine Menge, $\mathbb{G}=(G,+)$ eine Gruppe und $\Phi: G \mapsto M$ eine Bijektion. \\ Seien $x,y \in M$ und $\oplus$ eine Verknüpfungen auf M, mit:\\ $x \oplus y = \Phi(\Phi^{-1} (x) + \Phi^{-1}(y))$ \\ Dann ist $\mathbb{M}=(M,\oplus)$ eine Gruppe und $\Phi$ ein Isomorphismus. \section{Satz-2} Sei M eine Menge, $\mathbb{K}=(K,+,\cdot)$ ein Körper und $\Phi: K \mapsto M$ eine Bijektion. \\ Seien $x,y \in M$ und $\oplus$ bzw. $\otimes$ Verknüpfungen auf M mit:\\ $x \oplus y = \Phi(\Phi^{-1} (x) + \Phi^{-1}(y))$ \\ $x \otimes y = \Phi(\Phi^{-1} (x) \cdot \Phi^{-1}(y))$ \\ Dann ist $\mathbb{M}=(M,\oplus, \otimes)$ ein Körper und $\Phi$ ein Isomorphismus. \\ \\ siehe:\\ http://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws1011/exercises01.pdf \section{Satz-3} Sei S eine Menge mit n Verknüpfungen $\odot_{i}$ und S mit\\ $S=\bigcup\limits_{x \in R} K(x) $ \\ eine Zerlegung in paarweise verschiedene Äquivalenzklassen mit Repräsentanten $x \in R \subset S$\\ Genau dann definiert \\ $K(a) \odot_{i} K(b) = K(a \odot_{i} b)$ für jedes i mit $1 \le i \le n$ mit $a,b \in S$ eine Verknüpfung auf $\{K(x) \mid x \in R\} $\\ wenn:\\ die durch die Zerlegung von S induzierte Äquivalenzrelation eine Kongruenzrelation auf S ist.\\ \section{Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$} Die bekannte Menge $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4, .... \} $ \\ mit ihren bekannten Verknüpfungen + und $\cdot$ wird als die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet. \chapter{Konstruktion von $\mathbb{Z} \supset \mathbb{N}$ aus $\mathbb{N}$} \section{Um was es geht} Informal:\\ Beabsichtigt wird, eine (aus der Schule bekannte) ganze Zahl der Form a-b \\ als ein Paar (a,b) zu formalisieren.\\ So einfach geht das nicht,denn dann wäre z.B. 3-7 = 4-8, also (3,7) = (4,8).\\ Diese 2 Paare sind aber verschieden.\\ Deshalb definiert man eine Äquivalenzrelation auf den Zahlenpaaren, wobei zwei Zahlenpaare äquivalent sind, wenn ihre Differenz gleich ist. Also:\\ $(a,b) \sim (c,d) \Longleftrightarrow a-b=c-d$ \\ Da die Differenz nicht definiert ist, formt man um und erhält die:\\ \\ Formale Spezifikation:\\ $(a,b) \sim (c,d) :\Longleftrightarrow a+d=c+b$ \\ Eine ganze Zahl a-b wird dann als die Äquivalenzklasse [a,b] := K((a,b)) formalisiert. \section{Konstruktion von M} $M := \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ \subsection{Verknüpfung auf M} Informal:\\ Beabsichtigt wird die Addition zweier ganzer Zahlen a-b und c-d so durchzuführen:\\ a-b + c-d = a+c - (b+d) \\ Da die Differenz nicht definiert ist, formt man um und erhält die:\\ \\ Formale Spezifikation:\\ $(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)$ \subsection{Äquivalenzrelation auf M} siehe oben:\\ $(a,b) \sim (c,d) :\Longleftrightarrow a+d=b+c$ \section{Konstruktion von A als Menge der Äquivalenzklassen auf M} \subsection{A := Menge der Äquivalenzklassen auf M} $A := \{K([x,y]) \mid x,y \in \mathbb{N}\}$ \\ Die folgenden Elemente bilden ein vollständiges Repräsentantensystem der obigen Äquivalenzklasse: \\ (0,k) , (k,0) mit $k \in \mathbb{N}$ , also:\\ $A=\{K([(0,k)] \mid k \in \mathbb{N} \} \quad \cup \quad \{K([(k,0)] \mid k \in \mathbb{N} \} $ \\ \pagebreak \subsection {Verknüpfung auf A} Die Äquivalenzrelation auf M ist eine Kongruenzrelation.\\ Deshalb ist nach Satz-3 die folgende Verknüpfung auf den Äquivalenzklassen definiert:\\ $[a,b] + [c,d] := [a+c, b+d] $\\ D.h. die Verknüpfung + auf M läßt sich auf die Äquivalenzklassen "erweitern". \\ Bemerkung:\\ Für die Verknüpfung + in $\mathbb{N}$, M und A werden jeweils die gleichen Zeichen + verwendet. \subsection{A ist eine Gruppe} Man kann zeigen, dass A eine Gruppe ist mit:\\ $[h,h]$ ist Einselement und [b,a] ist das Inverse von $[a,b]$ \section{Konstruktion von $\mathbb{Z}$ als isomorphes Bild von A} \subsection{Konstruktion eines Isomorphismus} Informal:\\ Beabsichtigt wird in A die Menge $T := \{[a+h,h] \mid a \in \mathbb{N} \land h \in \mathbb{N} \}$ \\ durch $\mathbb{N}$ zu ersetzen, wobei die sich dann ergebende Menge dann ein isomorphes Bild von A ist. \\ Formal:\\ $T := \{[a+h,h] \mid a \in \mathbb{N} \land h \in \mathbb{N} \}$ \\ $\mathbb{Z} := \mathbb{N} \cup (A \setminus T) $\\ $\Phi: A \to \mathbb{Z}$ mit: \\ $\Phi([a,b]) := [a,b]$ \quad \quad falls $[a,b] \in A \setminus T$ \\ $\Phi([a+h,h]) := a$ \quad \quad sonst \\ Damit ist $\Phi$ eine Bijektion.\\ Man definiert die Verknüpfung $\oplus$ auf $\mathbb{Z}$:\\ $a \oplus b := \Phi(\Phi^{-1}(a) + \Phi^{-1}(b)) $ Nach Satz-1 ist $\mathbb{Z}$ damit eine Gruppe mit der Verknüpfung $\oplus$ und $\mathbb{Z}$ und A sind isomorph. \subsection{Eigenschaften von $\mathbb{Z}$} 1)\\ $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ \\ \\ 2) \\ $\mathbb{Z} = \{a \oplus b^{-1} \mid a,b \in \mathbb{N}\}$ \\ Beweis: \\ 1) klar\\ 2) \\ a) \\ Es gilt: $\Phi([x,y]) = x \oplus y^{-1}$ \\ Denn:\\ $\Phi([x,y]) = \Phi([x,0] + [0,y]) = \Phi([x,0] + [y,0]^{-1})= \Phi([x,0]) \oplus \Phi([y,0]^{-1}) = \Phi([x,0]) \oplus (\Phi([y,0]))^{-1} \\ = x \oplus y^{-1}$ \\ \\ $\Phi([x+h,h]) = \Phi([x+h+h,h+h]) = \Phi([x+h,h] + [h,h]) = \Phi([x+h,h] + [h,h]^{-1})= \Phi([x+h,h] \oplus \Phi([h,h]^{-1}) = \Phi([x+h,h] \oplus (\Phi([h,h]))^{-1}\\ =x \oplus 0^{-1}$ \\ \pagebreak b) \\ $z \in LS \iff \exists a,b \; z=[a,b]=\Phi([a,b])=a \oplus b^{-1} \in RS \quad \lor $ \\ \noindent\hspace*{23mm}% $\exists a \; z = a =\Phi([a+h,h]) = a \oplus 0^{-1} =a \in RS$. \\ \noindent\hspace*{13mm}% $\iff z \in RS$ \subsection{Abkürzung} $a \oplus b^{-1}$ kürzt man durch $a-b$ ab. \\ also: \\ $a-b := a \oplus b^{-1}$ \subsection{Multiplikation auf $\mathbb{Z}$} Man definiert eine Verknüpfung $\otimes$ auf $\mathbb{Z}$ mit:\\ $a \otimes 0 := 0$\\ $a \otimes -b := -(a \cdot b)$\\ $-a \otimes -b := a \cdot b$\\ $a \otimes (b-c) := a \cdot b - a \cdot c$\\ \\ Analog für $0 \otimes a$, usw.\\ \\ Man kann man das Erfülltsein des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz zeigen. \\ Damit ist $\mathbb{Z}$ ein kommunitativer Ring. \chapter{Konstruktion von $\mathbb{Q} \supset \mathbb{Z}$ aus $\mathbb{Z}$} \section{Um was es geht} Informal:\\ Beabsichtigt wird, eine (aus der Schule bekannte) rationale Zahl der Form a/b\\ als ein Paar (a,b) zu formalisieren.\\ So einfach geht das nicht,denn dann wäre z.B. 3/7 = 6/14, also (3,7) = (6,14).\\ Diese 2 Paare sind aber verschieden.\\ Deshalb definiert man eine Äquivalenzrelation auf den Zahlenpaaren, wobei zwei Zahlenpaare äquivalent sind, wenn ihr Quotient gleich ist. Also:\\ $(a,b) \sim (c,d) \Longleftrightarrow a/b=c/d$ \\ Da der Quatient nicht definiert ist, formt man um und erhält die:\\ \\ Formale Spezifikation:\\ $(a,b) \sim (c,d) :\Longleftrightarrow a \cdot d=b \cdot c$ \\ Eine rationale Zahl a/b wird dann als die Äquivalenzklasse [a,b] := K((a,b)) formalisiert. \section{Konstruktion von M} $M := \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{0} = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})$ \subsection{Verknüpfung auf M} Informal:\\ Beabsichtigt wird die Addition und Multiplikation zweier rationaler Zahlen a/b und c/d so durchzuführen:\\ a/b + c/d = (ad+bc)/bd\\ $a/b \cdot c/d = ac/bd$\\ Da der Quotient nicht definiert ist, formt man um und erhält die:\\ \\ Formale Spezifikation:\\ (a,b) + (c,d) = (ad+bc , bd)\\ $(a,b) \cdot (c,d) = (ac , bd)$\\ Bemerkumg:\\ Für die Verknüpfungen + und $\cdot$ in M und A werden jeweils die gleichen Zeichen + und $\cdot$ verwendet. \subsection{Äquivalenzrelation auf M} siehe oben:\\ $(a,b) \sim (c,d) :\Longleftrightarrow a \cdot d=b \cdot c$ \\ \pagebreak \section{Konstruktion von A als Menge der Äquivalenzklassen auf M} \subsection{A := Menge der Äquivalenzklassen auf M} $A := \{K([x,y]) \mid (x,y) \in M \}$ \subsection {Verknüpfung auf A} Da gilt:\\ $(a,b) \sim (c,d) \land (a',b') \sim (c',d') \Longrightarrow (a,b) + (a',b') \sim (c,d) + (c',d')$ \\ und \\ $(a,b) \sim (c,d) \land (a',b') \sim (c',d') \Longrightarrow (a,b) \cdot (a',b') \sim (c,d) \cdot (c',d')$ \\ Die Äquivalenzrelation auf M ist eine Kongruenzrelation.\\ Deshalb sind nach Satz-3 die folgende Verknüpfungen auf den Äquivalenzklassen definiert:\\ $[a,b] + [c,d) = [ad+bc , bd]$\\ $[a,b] \cdot [c,d] = [ac , bd]$\\ D.h. die Verknüpfungen + und $\cdot$ auf M lassen sich auf die Äquivalenzklassen "erweitern". \\ Bemerkung:\\ Für die Verknüpfungen + und $\cdot$ in M und A werden jeweils die gleichen Zeichen + und + und $\cdot$ verwendet. \subsection{A ist ein Körper} Man kann zeigen, dass A ein Körper ist mit:\\ $[0,h]$ ist Nullelement und $[-a,b]$ additives Inverses von $[a,b]$ \\ $[h,h]$ ist Einselement und $[b,a]$ multiplikatives Inverses von $[a,b]$ (mit $[a,b] \neq 0$) \section{Konstruktion von $\mathbb{Q}$ als isomorphes Bild von A} \subsection{Konstruktion eines Isomorphismus} Informal:\\ Beabsichtigt wird in A die Menge $T := \{[ah,h] \mid a \in \mathbb{Z} \land h \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \}$ \\ durch $\mathbb{Z}$ zu ersetzen, wobei die sich dann ergebende Menge dann ein isomorphes Bild von A ist. \\ Formal:\\ $T := \{[ah,h] \mid (ah,h) \in M \}$ \\ $\mathbb{Q} := \mathbb{Z} \cup (A \setminus T) $\\ $\Phi: A \to \mathbb{Q}$ mit: \\ $\Phi([a,b]) := [a,b]$ \quad \quad falls $[a,b] \in A \setminus T$ \\ $\Phi([ah,h]) := a$ \quad \quad sonst \\ Damit ist $\Phi$ eine Bijektion.\\ Man definiert die Verknüpfungen $\oplus$ und $\otimes$ auf $\mathbb{Z}$:\\ $a \oplus b := \Phi(\Phi^{-1}(a) + \Phi^{-1}(b)) $ \\ $a \otimes b := \Phi(\Phi^{-1}(a) \cdot \Phi^{-1}(b)) $ \\ Nach Satz-2 ist $\mathbb{Q}$ damit ein Körper mit den Verknüpfungen $\oplus$ und $\otimes$ und $\mathbb{Q}$ und A sind isomorph. \pagebreak \subsection{Eigenschaften von $\mathbb{Q}$} 1)\\ $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ \\ \\ 2) \\ a) Für alle $[a,b] \in \mathbb{Q}$ gilt: \quad $[a,b] = a \otimes b^{-1}$ \\ b) Für alle $a \in \mathbb{Q}$ gilt: \quad $a = a \otimes 1^{-1}$ \\ c) $\mathbb{Q} = \{a \otimes b^{-1} \mid (a,b) \in M \}$ \\ Beweis: \\ 1) klar \\ 2) \\ a) \\ $[x,y]=\Phi([x,y]) = \Phi([xh,h] \cdot [h,yh]) = \Phi([xh,h] \cdot [yh,h]^{-1})= \Phi([xh,h]) \otimes \Phi([yh,h]^{-1}) = \Phi([xh,h]) \otimes (\Phi([yh,h]))^{-1} \\ = x \otimes y^{-1}$ \\ b) \\ klar (Körperregeln) \\ c) \\ folgt aus a) und b) \\ \\ unnötig: (da dies aus Körperregeln folgt)\\ $x=\Phi([xh,h]) = \Phi([xh,h] \cdot [h,h]) = \Phi([xh,h] \cdot [h,h]^{-1})= \Phi([xh,h]) \otimes \Phi([h,h]^{-1}) = \Phi([xh,h]) \otimes (\Phi([h,h]))^{-1} \\ = x \otimes 1^{-1}$ \\ \subsection{Abkürzung} $a \otimes b^{-1}$ kürzt man durch $a/b$ ab. \\ also: \\ Für alle $a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0 \}$ gilt: \quad $a/b := a \otimes b^{-1}$ \\ \\ Folgerung:\\ Für alle $a \in \mathbb{Z}$ gilt: \quad $a/1 := a \otimes 1^{-1} = a \otimes 1=a$ \chapter{Konstruktion von $\mathbb{C} \supset \mathbb{R}$ aus $\mathbb{R}$} \section{Konstruktion von C aus $\mathbb{R}$} $\mathbb{R}$ ist ein Körper mit den Verknüpfungen + und $\cdot$ \\ Definiere:\\ $C := \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ \\ $(a,b) \oplus (c,d) := (a+c,b+d)$ \\ $(a,b) \otimes (c,d) := (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c)$ \\ kurz: \\ $(a,b) \otimes (c,d) := (a c - b d, a d + b c)$ \subsection {Satz1} $(C,\oplus,\otimes)$ ist ein Körper \subsection{Konstruktion eines Isomorphismus} Informal:\\ Beabsichtigt wird in C die Menge $T := \{(r,0) \mid r \in \mathbb{R}\}$ \\ durch $\mathbb{R}$ zu ersetzen, wobei die sich dann ergebende Menge dann ein isomorphes Bild von R ist. \\ Formal:\\ $i := (0,1)$ \\ $T := \{(r,0) \mid r \in \mathbb{R}\}$\\ $\mathbb{C} := \mathbb{R} \cup (C \setminus T) = \mathbb{R} \cup (\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus \mathbb{R} \times \{0\})$\\ $\Phi: C \to \mathbb{C}$ mit: \\ $\Phi((a,b)) := (a,b)$ \quad \quad falls $(a,b) \in C \setminus T$ \quad d.h. $b \neq 0$\ \\ $\Phi((a,b)) := a$ \quad \quad sonst \quad d.h. b=0 \\ Damit ist $\Phi$ eine Bijektion.\\ % Das sind die Alternativen: %$\boxplus$ \\ %$\boxtimes$ \\ %$\boxdot$ \\ %$\dot+ $ \\ %$\dot\times$ \\ Man definiert die Verknüpfungen $\oplus$ und $\otimes$ auf $\mathbb{C}$:\\ $a \boxplus b := \Phi(\Phi^{-1}(a) \oplus \Phi^{-1}(b)) $\\ $a \boxtimes b := \Phi(\Phi^{-1}(a) \otimes \Phi^{-1}(b)) $ \subsection {Satz2} 1) $\mathbb{C}$ ist ein Körper mit den Verknüpfungen $\boxplus$ und $\boxtimes$ \\ 2) $\mathbb{C}$ und C sind isomorph. \\ \\ Beweis: \\ Nach Satz-2 (siehe oben) und (siehe oben \glqq Formal\grqq) ist $\mathbb{C}$ ein Körper mit den Verknüpfungen $\boxplus$ und $\boxtimes$ und $\mathbb{C}$ und C sind isomorph. \subsection{Eigenschaften von $\mathbb{C}$} 1)\\ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ \\ \\ 2) \\ a) Für alle $(a,b) \in \mathbb{C}$ gilt: \quad $(a,b) = a \boxplus b \boxtimes i $ \\ b) Für alle $a \in \mathbb{C}$ gilt: \quad $a = a \boxplus 0 \boxtimes i $ \\ c) $\mathbb{C} = \{a \boxplus b \boxtimes i \mid a,b \in \mathbb{R} \} $ \\ \\ 3) \\ $a \boxplus b = a +b$ \quad falls $a,b \in \mathbb{R} $ \\ \\ 4) \\ $a_1 \boxplus b_1 \boxtimes i = a_2 \boxplus b_2 \boxtimes i \iff a_1=a_2 \land b_1=b_2$ \\ \\ Beweis: \\ 1) \\ klar \\ 2) \\ a) \\ $(a,y) = \Phi((a,b)) = \Phi((a,0)) \oplus(0,b))= \Phi((a,0)) \oplus(b,0) \otimes i) = \Phi((a,0)) \boxplus \Phi((b,0)) \boxtimes \Phi(i)) = x \boxplus b \boxtimes i$ \\ b) \\ klar (Körperregeln) \\ c) \\ folgt aus a) und b) \\ \\ 3) \\ $a \boxplus b = \Phi(\Phi^{-1}(a) \oplus \Phi^{-1}(b)) = \Phi((a,0) \oplus (b,0)) = \Phi((a+b,0)) = a+b$ \\ 4) \\ $a_1=a_2 \land b_1=b_2 \iff (a_1,b_1) = (a_2,b_2) \iff \Phi((a_1,b_1)) = \Phi(((a_2,b_2)) \iff a_1 \oplus b_1 \otimes i = a_2 \oplus b_2 \otimes i$ \\ \\ \end{document}